:
最適な刻み幅
:
数値計算における誤差(一般論)
:
桁落ち(誤差)
アルゴリズムによる誤差:打切り誤差
与えられたアルゴリズムを用いて厳密な算術(丸め誤差がない計算)によって得られる結果と真値との差を
打ち切り誤差 (truncation error)
という。
例:前進差分近似における誤差
関数
の場所
における1階微係数を
(6)
で(前進)差分近似する場合の誤差を考える (※これは前回の(14)式に他ならない!)。
まずテイラーの定理より、
(7)
と表せる。 この式を変形して
(8)
となるが、 これを(
6
)と見比べると、 前進差分近似では(
23
)式の右辺第2項を無視していることが分かる。 この項がこの近似における
打ち切り誤差
である。 従って打ち切り誤差は
のとき、
と表される
1
。
一方、関数値
の持つ誤差を
で表せば、 差分近似式(
6
)における丸め誤差は
と表せる(確かめよ)。 従って、この近似計算における誤差は、打ち切り誤差と丸め誤差を合計した
誤差
打ち切り誤差
丸め誤差
(10)
となる。 刻み幅
を小さくすると 打ち切り誤差は小さくできるが、同時に丸め誤差が大きくなり、 その合計の誤差が小さくなるとは一概には言えない。 最も(合計の)誤差が小さくなる刻み幅
は
(11)
で与えられることが上式から示せる(示せ)。
ykagawa 平成20年7月29日