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: 参考文献 : 常微分方程式の数値解法 : まとめ

問題

上の表で挙げた5つの異なる数値解法で「ローレンツのカオス」の数値解を求め、解の挙動を比較・検討せよ。(どの手法が最も「正確」か?計算に適しているのか?など考察せよ。)

ローレンツのカオスは以下の連立微分方程式で与えられる:

$\displaystyle \frac{dx}{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sigma (x-y)$  
$\displaystyle \frac{dy}{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -xz + Rx -y$  
$\displaystyle \frac{dz}{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle xy-bz$  

ここで $ \sigma = 10, b=8/3$ として、$ R$ を0から28まで増やしていった時の挙動を調べよ。 ($ R=28$ のときに有名なローレンツ・アトラクターが見られる。図 3参照)

図: ローレンツ方程式( $ R=28, \sigma =10, b=8/3$ )を初期値 $ x=1, y=2, z=3$ で解いた結果( $ t=[0, 100]$ )。ローレンツ・アトラクタが見られる。 手法として8次ドルマンド・プリンス法を使用( $ \texttt {atol = rtol = 1e-5}$ )。

\includegraphics[width=10cm]{lorenz.eps}



ykagawa 平成20年7月29日